Calculatrice du théorème de Chebyshev
Le calculateur du théorème de Chebyshev est un outil puissant qui peut aider à estimer la proportion de points de données qui se situent dans un écart type spécifique de la moyenne.
| k (écart type) | % minimum dans l'intervalle | Exemple d'ensemble de données (μ = 50, σ = 10) | Intervalle [μ – kσ, μ + kσ] |
|---|---|---|---|
| 1 | 0% | [40, 60] | [50 – 1 10, 50 + 1 10] = [40, 60] |
| 1,5 | 55,56% | [35, 65] | [50 – 1,5 10, 50 + 1,5 10] = [35, 65] |
| 2 | 75% | [30, 70] | [50 – 2 10, 50 + 2 10] = [30, 70] |
| 2,5 | 84% | [25, 75] | [50 – 2,5 10, 50 + 2,5 10] = [25, 75] |
| 3 | 88,89% | [20, 80] | [50 – 3 10, 50 + 3 10] = [20, 80] |
| 3,5 | 91,84% | [15, 85] | [50 – 3,5 10, 50 + 3,5 10] = [15, 85] |
| 4 | 93,75% | [10, 90] | [50 – 4 10, 50 + 4 10] = [10, 90] |
| 4,5 | 95,11% | [5, 95] | [50 – 4,5 10, 50 + 4,5 10] = [5, 95] |
| 5 | 95,84% | [0, 100] | [50 – 5 10, 50 + 5 10] = [0, 100] |
| 5,5 | 96,44% | [-5, 105] | [50 – 5,5 10, 50 + 5,5 10] = [-5, 105] |
| 6 | 97,22% | [-10, 110] | [50 – 6 10, 50 + 6 10] = [-10, 110] |
| 6,5 | 97,78% | [-15, 115] | [50 – 6,5 10, 50 + 6,5 10] = [-15, 115] |
| 7 | 98,00% | [-20, 120] | [50 – 7 10, 50 + 7 10] = [-20, 120] |
| 7,5 | 98,56% | [-25, 125] | [50 – 7,5 10, 50 + 7,5 10] = [-25, 125] |
| 8 | 98,75% | [-30, 130] | [50 – 8 10, 50 + 8 10] = [-30, 130] |
Formule du théorème de Chebyshev
Le cœur du théorème de Chebyshev est exprimé dans une formule concise et puissante :
P(|X - μ| ≤ kσ) ≥ 1 - (1/k²)
dans:
- P représente la probabilité
- X est une variable aléatoire
- μ (mu) représente la valeur moyenne
- σ (sigma) représente l'écart type
- k est le nombre d'écarts types par rapport à la moyenne
Cette formule nous permet de calculer k écarts types à partir de la moyenne des points de données à l'intérieur de la plus petite échelle .
Quand on veut connaître la proportion de données à 2 écarts-types près :
P(|X - μ| ≤ 2σ) ≥ 1 - (1/2²) = 1 - (1/4) = 3/4 = 75%
Par conséquent, quelle que soit la forme de la distribution où au moins 75 % des données se situent à moins de 2 écarts types de la moyenne ,
Comment calcule-t-on le théorème de Chebyshev ?
- Déterminer k : Déterminer le nombre d'écarts types de la moyenne à considérer
- Appliquez la formule : Remplacez k dans l’équation 1 – (1/k²).
- Interpréter les résultats : Les résultats représentent les k plus petits écarts types des données au sein de l'échelle .
Supposons que nous voulions trouver les 3 plus petits écarts types par rapport à la moyenne des données au sein d'une échelle .
- k=3
- 1 – (1/k²) = 1 – (1/3²) = 1 – (1/9) ≈ 0,8889
- Explication : Au moins 88,89% des données se situent à moins de 3 écarts types de la moyenne
Comment calculer l'intervalle de Chebyshev à 75 % ?
L'intervalle de Chebyshev consiste à trouver l'intervalle qui contient au moins 75 % des données
- Fixer l'inégalité : 1 – (1/k²) ≥ 0.75
-
Résoudre pour k :
- (1/k²) ≤ 0,25
- k² ≥ 4
- k ≥ 2
- Explication : L'intervalle [μ – 2σ, μ + 2σ] contient au moins 75% des données.
À titre d'exemple concret, supposons que la moyenne de l'ensemble de données soit de 100 et que l'écart type soit de 15 :
- Limite inférieure : 100 – (2 * 15) = 70
- Limite supérieure : 100 + (2 * 15) = 130
Par conséquent, au moins 75 % des points de données se situent entre 70 et 130 .
D'après la règle de Chebyshev, qu'est-ce qui fait au moins 75 % ?
Selon la règle de Chebyshev, au moins 75 % des données de toute distribution se situent à moins de 2 écarts types de la moyenne . Il s'agit d'un aperçu crucial pour analyser des ensembles de données avec des formes de distribution inconnues ou non normales .
Dans l'enquête de satisfaction des collaborateurs d'une entreprise, les scores vont de 1 à 10 :
- Note moyenne : 7,5
- Ecart type : 1,2
Nous pouvons affirmer qu’au moins 75 % des scores se situent entre :
- Limite inférieure : 7,5 – (2 * 1,2) = 5,1
- Limite supérieure : 7,5 + (2 * 1,2) = 9,9