Calculateur de dérivée directionnelle

Le calculateur de dérivée directionnelle en ligne détermine la dérivée directionnelle et le gradient d'une fonction en un point donné d'un vecteur. De plus, cette calculatrice gratuite vous montre des calculs étape par étape pour des points spécifiques.

Voyons maintenant comment trouver la dérivée directionnelle à l'aide de formules et d'exemples.

Qu’est-ce que la dérivée directionnelle ?

En  mathématiques , il est intuitif de dériver la direction d'une fonction différentielle multidimensionnelle d'un vecteur donné v en un point x donné. C'est le taux de changement instantané d'une fonction se déplaçant dans x à une vitesse déterminée par v. D'où le concept généralisé de dérivées partielles, où le taux de variation est obtenu avec l'une des courbes de coordonnées curvilignes. Alors que toutes les autres coordonnées restent inchangées.

(Les photos sont à titre de référence seulement)

Formule dérivée directionnelle :

Soit f une courbe dont le vecteur tangent en un point sélectionné est v. Calculateur de dérivée directionnelle Trouvez la fonction f de p qui peut être exprimée par l'un des éléments suivants :

• $\ ∇_pf（x）$
• $\ f'_p（x）$
• $\ D_pf（x）$
• $\ Df（x）（p）$
• $\∇f（x）$

Par conséquent, la dérivée directionnelle d’une fonction scalaire est :

$\ f（x） =\ f（x_1， x_2， ....， x_{n-1}， x_n）$avec vecteur$\ v = （v_1， v_2， ...， v_n）$est une fonction$\ ∇_vf$, la formule de calcul est

$\ ∇_vf（x） = lim f（x + hv） – f（x）/ h$

C'est la formule utilisée par le calculateur de dérivée directionnelle pour trouver la dérivée d'une fonction donnée.

pente:

Le gradient ∇f est un vecteur pointant dans la direction de la pente ascendante maximale, et sa longueur est la dérivée directionnelle dans cette direction. La dérivée directionnelle est le produit scalaire entre le gradient et le vecteur unitaire :

$\ M_uf = ∇f⋅u$

Exemple de dérivée directionnelle :

si$\ z=14−x^2−y^2$, soit M=(3,4). Trouvez la dérivée directionnelle de f en M dans les directions suivantes :

• Vers le point N=(5,6),
• dans la direction de ⟨2,−1　, et
• Avancez vers l'origine.

répondre:

Le point M=(3,4) est exprimé sur le plan x, y, et le point (3,4,9) est situé sur la surface de « f ». On trouve en utilisant la formule de dérivée directionnelle

fx(x,y)=−2x et fx(3,4)=−2,

f_y(x,y)=−2y et f_y(1,2)=−4

laisser$\vec u_1$1 est le vecteur unitaire pointant du point (3,4) au point Q=(3,4). vecteur$\vec PQ=（2,2）$Le vecteur dans cette direction est$\vec u_1=（\frac{1}{\sqrt{2}}）$.

Par conséquent, la dérivée directionnelle de f en (3,4) est selon

$\vec u_1\ is\ \vec Du_1\ f（1,2）=−2（\frac{1}{sqrt{2}}）+（−4）（\frac{1}{\sqrt{2}}）=\frac{−6}{\sqrt{2}}≈−4.24$.

Le taux de changement d'un objet se déplaçant du point (3,4,9) sur la surface dans la direction suivante$\mathbf{u}_1$(pointant vers le point Q) est d'environ -4,24.

Comment fonctionne le calculateur de dérivée directionnelle ?

Utilisez ce  calculateur en ligne pour trouver les points de gradient et les dérivées directionnelles d'une fonction donnée en suivant ces étapes :

entrer:

• Tout d’abord, choisissez le nombre de points nécessaires pour la direction du vecteur.
• Maintenant, pour trouver la dérivée directionnelle, entrez une fonction.
• Ensuite, entrez les valeurs de point et de vecteur données.
• Pour continuer le processus, cliquez sur le bouton Calculer.

Sortir:

• Le calculateur de dérivée directionnelle calcule la dérivée d'une fonction donnée dans la direction d'un vecteur donné.
• Il calcule le gradient en prenant la dérivée de la fonction par rapport à chaque variable.

FAQ :

Qu’est-ce que le dégradé directionnel ?

Si le gradient de la fonction au point « p » n'est pas nul, alors la direction du gradient est la direction dans laquelle la fonction de p augmente rapidement, et l'ampleur du gradient est le taux de croissance dans cette direction.

Discutez de la différence entre la dérivée de gradient et la dérivée directionnelle ?

La dérivée directionnelle est le taux de variation d'une fonction dans une direction donnée. Le gradient peut être utilisé dans des formules pour déterminer les dérivées directionnelles. Le gradient représente la direction de la plus grande dérivée directionnelle en fonction de plusieurs variables.

La dérivée première est-elle un gradient ?

La dérivée première donne essentiellement la direction. En d’autres termes, cela nous indique si la fonction est croissante ou décroissante. La dérivée première peut être interprétée comme le taux de variation instantané. Cette dérivée peut également être interprétée comme la pente de la tangente.

Pourquoi la dérivation de direction est-elle importante ?

En  mathématiques , il est intuitif de dériver la direction d'une fonction différentielle multidimensionnelle d'un vecteur donné v en un point x donné. C'est le taux instantané de changement de la fonction, se déplaçant dans x à une vitesse déterminée par v. La dérivation directionnelle est un cas particulier de la dérivation de Gateaux.

Dans quelle direction la dérivée directionnelle est-elle la plus grande ?

Lorsque thêta θ = 0, la dérivée directionnelle a la plus grande valeur positive. Par conséquent, la direction de l’augmentation maximale de la fonction f coïncide avec la direction du vecteur gradient. Lorsque θ = pi (ou 180 degrés), la dérivée directionnelle prend la plus grande valeur négative.

Les dérivés directionnels peuvent-ils être négatifs ?

Oui, la dérivée directionnelle est un changement de direction et peut être positive, négative ou nulle. Une dérivée directionnelle négative signifie que la fonction diminue dans cette direction ou augmente dans la direction opposée.

 Le calculateur de dérivée directionnelle en ligne généralise les dérivées partielles pour déterminer la pente dans n'importe quelle direction et calcule les dérivées et les gradients tridimensionnels. Vous avez besoin d’un morceau de papier millimétré pour trouver les dérivées directionnelles et les vecteurs, mais cela augmente également le risque de commettre des erreurs. Alors, utilisez ce calculateur en ligne gratuit pour trouver la dérivée directionnelle, qui fournit des solutions étape par étape avec une précision de 100 %.