Calculateur de plan tangent

Sélectionnez les variables et écrivez la fonction et ses coordonnées. L'outil déterminera instantanément le plan tangent à un point de la courbe et affichera les étapes.

Le calculateur de plan tangent vous aidera à déterminer efficacement le plan tangent pour un point donné sur une courbe. De plus, il peut gérer avec précision 2 et 3 fonctions mathématiques variables et fournir des solutions étape par étape. Pouvoir utiliser cette calculatrice pour calculer rapidement des plans tangents sans avoir à passer par toutes les étapes du calcul peut faire gagner beaucoup de temps. De plus, vous obtiendrez son contexte théorique et trouverez en bonus quelques exemples résolus.

Qu'est-ce qu'un plan tangent ?

Comme vous le savez, la dérivée$\frac{dy}{dx}$Fonctionnel$f(x)$Représente une ligne tangente à un point spécifique à ce point. Vous pouvez calculer les tangentes à une surface à l'aide de notre calculateur de tangente . De même, les dérivées partielles$frac{∂y}{∂x}$ $f(x)$Représente le plan tangent à un point spécifique à ce point. À un certain point, il contiendra toutes les tangentes touchant la courbure de la fonction considérée à ce point, comme le montre la figure ci-dessous.

Conditions pour les plans tangents :

Les fonctions qui composent la surface doivent être dérivables en un point pour que le plan puisse y exister.

Équation du plan tangent :

Soit S une surface définie par une fonction différentiable$z = f(x,y)$2 variables sont impliquées, et soit$P_o = (x_o, y_o)$est un point dans le domaine de f. Alors, l’équation du plan tangent à S en Po est donnée par :

$$z = f(x_o,y_o)+f_x(x_o,y_o)(x-x_o)+f_y(x_o,y_o)(y-y_o)$$

Dans le même esprit, l'équation générale du plan tangent$P_o=(x_o, y_o, z_o)$à une surface S définie par une fonction mathématique$z = f(x,y,z)$donné implique 3 variables

$$z = f(x_o, y_o, z_o) + f_x(x_o, y_o, z_o)(x − x_o) + f_y(x_o, y_o, z_o)(y − y_o) + f_z(x_o, y_o, z_o)(z − z_o)$$

Comment trouver l’équation du plan tangent ?

Vous devez suivre les étapes que vous êtes sur le point d'effectuer pour trouver l'équation du plan tangent à la surface donnée par la fonction. Ce calculateur de plan tangent donne également des solutions similaires en très peu de temps.

Vérifiez les prérequis :

Assurez-vous d'avoir la fonction mathématique de la surface et les coordonnées du point sur cette surface où vous souhaitez calculer l'équation.

Résoudre les dérivées partielles :

Une distinction partielle est faite entre les fonctions mathématiques de la surface considérée. Des calculs détaillés peuvent être vus à partir de l’exemple présenté dans la section suivante.

Calculez les différences partielles en un point :

Évaluez une fonction différentielle partielle en un point donné pour trouver l’équation du plan tangent, comme indiqué dans l’exemple suivant.

Exemple résolu :

L'exemple suivant illustre clairement comment déterminer l'équation requise en utilisant les étapes ci-dessus. Notre calculateur de plan tangent suit également la même procédure que celle utilisée dans ces exemples et vous pouvez obtenir exactement les mêmes résultats en quelques secondes.

Exemple-1 :

Trouver l'équation du plan tangent à la surface$z=x2+y2$au point$(1,2,5)$.

Solution :

pour les fonctions$f(x,y) = x^2+y^2$, nous avons:

$$fx(x,y) = 2x$$

$$fy(x,y) = 2y$$

Par conséquent, l’équation du plan tangent en ce point$(1,2,5)$)Oui:

$$2(1)(x−1)+2(2)(y−2)−z+5 = 0$$

$$= 2x+4y−z−5=0$$

Exemple-2 :

Trouver l'équation du plan tangent à la surface définie par la fonction$f(x,y)=sin(2x)cos(3y)$au point$(F/3, F/4)$.

Solution:

Dans un premier temps, nous calculerons$fx(x,y)$et$fy(x,y)$Ensuite, nous calculerons l'équation du plan tangent requise en utilisant l'équation générale

$z=f（x_o，y_o）+fx（x_o，y_o）（x-x_o）+fy（x_o，y_o）（y-y_o）$et$XO = \frac{π}{3}$et$y=\frac{π}{4}$:

$$f_x(x,y) = 2cos(2x)cos(3y)$$

$$f_y(x,y) = −3sin(2x)sin(3y)$$

$$F(\frac{π}{3},\frac{π}{4}) = sin(2(\frac{π}{3}))cos(3(\frac{π}{4})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{-\sqrt{2}}{2}) = \frac{-\sqrt{6}}{2}$$

$$f_x(\frac{π}{3},\frac{π}{4}) = 2cos(2(\frac{π}{3}))cos(3(\frac{π}{4})) = 2(\frac{-1}{2})( \frac{-√2}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$f_y(\frac{π}{3},\frac{π}{4}) = 2\sqrt{2} − 3sin(2(\frac{π}{3}))sin(3(\frac{π }{4})) = −3(3\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = −36\sqrt{4}$$

现在，我们将在一般方程式中代入这些值：

$$Z = f(x_o,y_o) + f_x(x_o,y_o)(x−x_o) + f_y(x_o,y_o)(y−yo_)$$

$$z = −6\sqrt{4} + 2\sqrt{2} (x − \frac{π}{3}) − 36√4 (y − \frac{π}{4})$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}x − \frac{（3\sqrt{6}）}{4}y − \frac{\sqrt{6}}{4} − \frac{π\ carré{2}}{6} + \frac{3π\sqrt{6}}{16}$$

示例-3：

找到切平面 $x^2+ y^2 + z^2 = 30$ 在点上 $(1, -2, 5)$.

解决方案：

$$f(x, y, z)=x^2 + y^2 + z^2$$

$$∇f = (2x, 2y, 2z)$$

$$∇f(1,−2,5) = (2,−4,10)$$

$$\text{Résoudre l'équation} = 2(x - 1) - 4(y + 2) + 10(z - 5)$$

示例 4：

确定与曲面的切平面 $x2 + 2y2 + 3z2 = 36$ 在点上 $P = (1, 2, 3)$

溶液：

为了使用梯度，我们引入了一个新变量：

$$w = x^2 + 2y^2 + 3z^2$$

然后，我们的表面就是水平表面 $w = 36$。因此，表面的法线为： $$∇W = (2x, 4y, 6z)$$

在点 P 处，我们有 $∇w|P = (2, 8, 18)$）。使用点法向形式，切平面的方程为：

$$2(x − 1) + 8(y − 2) + 18(z − 3) = 0, \text { ou équivalent} 2x + 8y + 18z = 72$$

Comment utiliser le calculateur de plan tangent :

 Ce calculateur en ligne peut calculer l'équation de calcul du plan tangent efficacement et rapidement en suivant les étapes suivantes : Vous pouvez basculer entre le calcul à 2 variables et le calcul à 3 variables en cliquant sur l'onglet correspondant en haut du champ de saisie.

entrer:

• Tout d’abord, entrez la fonction mathématique souhaitée dans le champ de saisie intitulé « Entrer la fonction ».
• Entrez ensuite simplement les coordonnées en fonction du nombre de variables dans la fonction.

Sortir:

Cette calculatrice détermine l'équation d'un plan tangent (formé par une fonction mathématique donnée) qui entre en contact avec une surface en un point de coordonnées. Il fournit également une solution étape par étape qui nécessite de distinguer tous les détails pertinents.

FAQ :

Quel est le cadre mathématique de base pour déterminer les plans tangents ?

Les dérivées partielles sont essentiellement utilisées pour déterminer les équations de leurs plans directeurs. Ce calculateur de plan tangent est basé sur les mêmes concepts mathématiques et produit des résultats précis en quelques secondes.

Le plan tangent est-il situé dans un espace à deux dimensions ou dans un espace à trois dimensions ?

Les tangentes se situent en deux dimensions, mais un plan tangent est la combinaison de toutes les tangentes qui touchent une surface en un point particulier, il se situe donc en trois dimensions.

Quelle est la différence entre le vecteur tangent et le plan tangent ?

Un vecteur tangent est une ligne qui touche à peine la surface en un certain point (déterminé par une fonction mathématique), tandis qu'un plan tangent est la combinaison de tous les vecteurs tangents qui touchent la surface en un point spécifique.

Quelle est la corrélation entre les plans tangents et les normales ?

Les plans tangents touchent à peine la surface courbe et sont parallèles à la surface, tandis que les normales traversent la surface et sont perpendiculaires à la surface.

en conclusion:

Effectuer manuellement tous ces calculs est un processus très fastidieux. Ce calculateur d'équation de plan tangent est une ressource pratique qui produit instantanément des résultats précis, même lorsque vous travaillez avec 3 fonctions variables. Le cadre mathématique utilisé dans les calculs back-end est exactement le même que celui utilisé dans le processus manuel.

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