Calculateur d'indépendance linéaire

Le calculateur d'indépendance linéaire en ligne vous aide à déterminer l'indépendance linéaire et la dépendance entre les vecteurs. Il s’agit d’une idée très importante en algèbre linéaire et implique de comprendre le concept d’indépendance vectorielle. Dans cet article, nous décomposons ce que sont les variables dépendantes et indépendantes et expliquons comment déterminer si les vecteurs sont linéairement indépendants ?

Que sont la dépendance linéaire et l’indépendance ?

Dans un espace vectoriel, s’il existe une combinaison linéaire non triviale de vecteurs égale à zéro, l’ensemble de vecteurs est dit linéairement dépendant. Lorsqu’il n’existe pas de combinaisons linéaires, les vecteurs sont dits linéairement indépendants. Si l'équation est$a_1 * v_1 + a_2 * v_2 + a_3 * v_3 + a_4 * v_4 + ... + a_{n – 1} * v_{n – 1} + a_n * v_n = 0$,mais$v_1, v_2, v_3, v_4,..., v_{n – 1}, v_n$sont des vecteurs linéairement indépendants.

Ici zéro (0) est un vecteur qui vaut pour toutes les coordonnées si et seulement si$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{n-1} + a_n = 0$.

Sinon, on peut dire que les vecteurs sont linéairement dépendants. La seule combinaison de vecteurs linéaires qui fournit un vecteur nul est dite triviale.

Par exemple, v = (2, -1), alors prenez également$e_1 = (1, 0), e_2 = (0, 1)$.

Alors$1 * e_2 + (-2) * e_1 + 1 * v = 1 * (0, 1) + (-2) * (1, 0) + 1 * (2, -1) = (0, 1) + ( -2, 0) + (2, -1) = (0, 0)$, on trouve donc une combinaison non triviale de vecteurs qui donne zéro. Ils sont donc linéairement dépendants. Par ailleurs, nous pouvons voir$e_1 et e_2$Il n'y a pas de problème. Les vecteurs V sont des vecteurs linéairement indépendants.

Cependant, le calculateur Wronskian en ligne vous aidera à déterminer le Wronskian d’un ensemble donné de fonctions.

Comment vérifier la dépendance linéaire ?

Pour vérifier la dépendance linéaire, nous changeons les valeurs des vecteurs en matrices. Par exemple, trois vecteurs en deux dimensions :$V (a_1, a_2), W (b_1, b_2), V (c_1, c_2)$, puis écrivez leurs coordonnées sous forme de matrice, chaque ligne correspondant à l'un des vecteurs.$$M = |D|= \left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_1 & \\b_1 & b_2\\c_1 & c_2\end{array}\right|$$ 

$$M = |D|= \left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_1 & \\b_1 & b_2\\c_1 & c_2\end{array}\right|$$

Alors le rang de la matrice est égal au nombre maximum de vecteurs indépendants entre w, v et u.

Comment savoir si les vecteurs sont linéairement indépendants ?

Pour vérifier si les vecteurs sont linéairement indépendants, le  calculateur d'indépendance linéaire en ligne peut déterminer si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant. Si vous souhaitez le vérifier manuellement, l'exemple suivant peut vous aider à mieux comprendre.

Exemple 1 :

Trouver la valeur de h dont dépend linéairement un vecteur si le vecteur$h_1 = {1, 1, 0}, h_2 = {2, 5, -3}, h_3 = {1, 2, 7}$en 3 dimensions et découvrir ensuite si elles sont linéairement indépendantes ou non linéaires ?

Solution:

Si le déterminant des vecteurs A, B, C est nul, alors ils sont linéairement dépendants. C'est |D|=0

 

$$A = (1, 1, 0), B = (2, 5, −3), C = (1, 2, 7)$$

 

$$|D|= \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0\\2 & 5 & -3\\1 & 2 & 7\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 \times \left|\begin{array}{cc}5 & -3\\2 & 7\end{array}\right|- (1) \times \left|\begin{array}{ cc}2 & -3\\1 & 7\end{array}\right|+ (0) \times \left|\begin{array}{cc}2 & 5\\1 & 2\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 × ((5) × (7) − (−3) × (2)) − (1) × (2) × (7) − (−3) × (1)) + (0) × (2) × (2) − (5) × (1))$$

 

$$|D|= 1 × ((35) − (- 6)) − (1) × ((14) − (− 3)) + (0) × ((4) − (5))$$

 

$$|D|=1 × (41) − (1) × (17) + (0) × (− 1)$$

 

$$|D = (41) − (17) + (0)$$

 

$$|D|= 24$$

 

$$|D|= 24 ≠ 0$$

 

Puisque |D|≠ 0, les vecteurs A, B et C sont linéairement indépendants.

Exemple 2 :

Lorsque le vecteur tridimensionnel est$v_1 = {1, 1, 1}, v_2 = {1, 1, 1}, v_3 = {1, 1, 1}$Détermine si les vecteurs sont linéairement indépendants.

répondre:

Si leur déterminant est nul. Autrement dit, |D|=0, puis vérifiez les vecteurs linéairement indépendants A, B et C.

 

$$A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 1), C = (1, 1, 1)$$

 

$$|D|= \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right|$$

 

$$|D|=1×|1111|−(1)×|1111|+(1)×|1111|$$

 

$$|D|= 1 \times \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|- (1) \times \left|\begin{array}{cc }1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|+ (1) \times \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 × ((1) − (1)) − (1) × ((1) − (1)) + (1) × ((1) − (1))$$

 

$$|D|= 1 × (0) − (1) × (0) + (1) × (0)$$

 

$$|D|= (0) − (0) + (0)$$

 

$$|D|= 0$$

 

Puisque |D|= 0, les vecteurs A, B et C sont linéairement dépendants.

Cependant, le  calculateur jacobien en ligne permet de retrouver l'ensemble des fonctions et le déterminant de la matrice jacobienne.

Comment fonctionne le calculateur d'indépendance linéaire ?

Le calculateur de dépendance linéaire en ligne vérifie si un vecteur donné est dépendant ou indépendant en effectuant les étapes suivantes :

entrer:

• Tout d’abord, sélectionnez le nombre de vecteurs et de coordonnées dans les listes déroulantes.
• Maintenant, remplacez les valeurs données ou vous pouvez ajouter des valeurs aléatoires dans tous les champs en cliquant sur le bouton "Générer des valeurs".
• Cliquez sur le bouton Calculer.

Sortir:

• Le calculateur d'indépendance linéaire indique d'abord si les vecteurs sont indépendants ou dépendants.
• Ensuite, utilisez le calculateur matriciel linéairement indépendant pour trouver le déterminant du vecteur et fournir une solution complète.

FAQ :

Comment vérifier si les vecteurs sont linéairement indépendants ?

Si le déterminant des vecteurs A, B, C est nul, alors les vecteurs sont linéairement dépendants. De plus, les vecteurs sont linéairement dépendants si leur déterminant n’est pas égal à zéro.

Comment savoir si une matrice est linéairement indépendante ?

Dans un premier temps, nous devons convertir la matrice en un trapèze réduit. Si nous obtenons une matrice identité, alors les matrices données sont linéairement indépendantes.