Calculateur du théorème de moyenne

Le calculateur de théorème moyen en ligne vous aide à trouver le taux de variation d'une fonction à l'aide du théorème moyen. De plus, cette calculatrice du théorème de Rolle montre la dérivation de l'intervalle pour une fonction donnée. Dans ce contexte, vous pouvez comprendre le théorème de la moyenne et son cas particulier appelé théorème de Rolle.

Quel est le théorème de la valeur moyenne ?

En  mathématiques , le théorème de la moyenne est utilisé pour évaluer le comportement des fonctions. Le théorème de la moyenne affirme que si f est une fonction continue sur l'intervalle fermé [a, b] et est différentiable sur l'intervalle ouvert (a, b), alors il y a au moins un point c sur l'intervalle ouvert (a, b) , Alors la formule du théorème de la valeur moyenne est :

$$f' (c) = [f (b) – f (a)] / b – a$$

Théorème de la valeur moyenne des intégrales

Le théorème de la valeur moyenne des intégrales stipule que la pente d'une ligne droite fusionnée (en douceur) en deux points différents sur une courbe sera exactement la même que la pente d'une ligne tangente à un point spécifique de la courbe entre deux points distincts. Soit f une fonction sur [a, b]. Alors la moyenne f (c) de c est

$$1/ b – a∫_a^bf(x) d(x) = f(c)$$

(Les photos sont à titre de référence seulement)

Les calculateurs d'intégrales en ligne peuvent vous aider à évaluer l'intégrale d'une fonction par rapport aux variables impliquées.

exemple:

Trouvez la valeur de f (x) = 11x^2 - 6x - 3 sur l'intervalle [4,8].

Solution:

Dans l'équation donnée, (f) est continue sur [4,8].

$$F (C) = 1/b – a ∫ f (x) dx = 1/ 8 – 4∫_4^8 (11x^2 – 6x – 3) dx$$

$$= 1/4 [x^3 – x^2]^8_4$$

$$= 1/4 [(216 – 36) – (8 – 4)]$$

$$= 1/4 [(180 – 4)]$$

$$= 176/4 = 44$$

Ici, la valeur de c est 44, ce qui fournit la valeur moyenne de la fonction donnée.

Maintenant, mettez x=16 dans la fonction.

$$f(x)=11x^2-6x-3=44$$

$$=11x^2 - 6x - 47$$

$$= (x + 2,32) (x - 2,80) = 0$$

Donc 2,80 est la valeur de c. Le  calculateur de théorème de moyenne en ligne donne les mêmes résultats lorsque vous y insérez des valeurs et des intervalles similaires .

Théorème de la moyenne de Cauchy

Le théorème de la moyenne de Cauchy est une généralisation du théorème de la moyenne. Il stipule : Si les fonctions g et f sont toutes deux continues sur l'intervalle de fin [a, b] et différentiables sur l'intervalle de début (a, b), alors il existe ce(a, b) tel que

$$(f (b) – f (a)) g’c = (g (b) – g (a)) f’c$$

Ici g(a) ≠ g(b) et g'(c) ≠0, donc cela équivaut à :

$$f'(c)/g'(c) = f(b) – f(a)/g(b) – g(a)$$

Le calculateur de dérivée en ligne permet de trouver la dérivée d'une fonction par rapport à une variable donnée.

Exemple:

Trouvez une valeur "C", qui est la conclusion du théorème de la valeur moyenne : f(x) = -4x^3 + 6x - 2 sur l'intervalle [-4, 2].

répondre:

f(x) est une fonction polynomiale différentiable pour tous les nombres réels. Calculer f(x) en supposant que x = -4 et x = 2

$$f(-4) = -4(-4)^3 + 6(-4) - 2 = 20$$

$$f(2) = -4(2)^3 + 6(2) - 2 = - 4$$

Maintenant, remplacez les valeurs dans [f(b) – f(a)] / (b – a)

$$[f(b) - f(a)] / (b - a) = [-6 - 4] / (2 - (-4)) = -2$$

Trouvons maintenant f'(x)

$$f '(x) = - 6x^2 + 6$$

Nous créons maintenant une équation basée sur f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)

$$-6c + 6 = -2$$

Vous pouvez trouver la valeur de c à l’aide du calculateur du théorème de la valeur moyenne :

$$c = 2 \sqrt{(1/3)} et c = - 2 \sqrt{(1/3)}$$

Théorème de Rolle :

Le théorème de Rolle dit que si les résultats d'une fonction différentiable (f) sont égaux à la fin de l'intervalle, alors il doit y avoir un point c où f '(c) = 0.

 

exemple:

Trouvez toutes les valeurs du point médian c dans l'intervalle [−4,0] tels que f′(c)=0 où f(x)=x^2+2x.

répondre:

Tout d'abord, vérifiez la fonction f(x) qui satisfait le théorème de Rolle pour tous les états.

1. f(x) est une fonction continue dans [−4,0] comme fonction quadratique ;
2. Il est différentiable dans l'intervalle de départ (-4,0) ;

$$f(−2)=(−4)2+2⋅(−4)=0$$ $$f(0)=02+2⋅0=0$$

$$f(−4)=f(0)$$

 Nous pouvons donc utiliser la calculatrice du théorème de Rolle pour trouver le point c

$$f′(x)=(x2+2x)′=2x+2$$

Maintenant, résolvez l’équation f′(c)=0 :

$$f′(c)=2c+2=0$$

$$c=−1$$

donc

$$f′(c)=0 signifie c=−1$$

Comment fonctionne le calculateur du théorème de moyenne ?

Ce calculateur gratuit du théorème de Rolle peut être utilisé pour calculer le taux de changement d'une fonction avec le théorème en suivant ces étapes :

entrer:

• Tout d’abord, entrez une fonction pour différentes variables (telles que x, y, z).
• Maintenant, entrez les intervalles de début et de fin pour la fonction continue
• Cliquez sur le bouton Calculer pour voir les résultats

Sortir:

• Le calculateur du théorème moyen fournit la réponse
• Afficher la dérivation de la fonction d'entrée

FAQ :

Qui a prouvé le théorème de la moyenne ?

En 1691, M. Rolle a prouvé une forme restreinte du théorème de la moyenne ; le résultat est ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème de Rolle et a été prouvé comme un polynôme sans la méthode du calcul. La dernière forme du théorème de la moyenne a été prouvée par Augustin Cauchy en 1823.

Que signifie le premier théorème de moyenne ?

f(b)−f(a) = f′(c)(b−a). Ce théorème, également connu sous le nom de théorème de la première moyenne, permet de montrer l'incrément d'une fonction donnée (f) sur un intervalle spécifique de la valeur de la dérivée en un point intermédiaire.

Utilisez ce calculateur pratique de théorème de moyenne, qui vous permet de trouver le taux de changement d'une fonction si f est continue sur un intervalle fermé et différentiable sur un intervalle ouvert, alors il y a un point c dans l'intervalle. La formule du théorème de la valeur moyenne est difficile à retenir, mais vous pouvez utiliser notre calculateur gratuit du théorème de Rawls en ligne, qui vous donne des résultats précis à 100 % en une fraction de seconde.