Calculatrice d'hexagone
Calcule un hexagone régulier (un polygone à 6 sommets). Un hexagone est le polygone régulier le plus élevé qui permet un pavage régulier (carrelage).
formule hexagonale
Toutes les formules pour résoudre des hexagones réguliers utilisent la notation indiquée :
Toutes les formules supposent que les côtés de l'hexagone sont connus, donc la première étape pour appliquer la formule basée sur le point de départ consiste à calculer les longueurs des côtés à partir des longueurs des côtés données en entrée. Par exemple, pour trouver un côté d’un périmètre, divisez simplement le périmètre par six.
Aucune formule n'est donnée pour trouver les angles d'un hexagone, car dans tous les hexagones réguliers, les angles sont égaux à 120°. Si vous dessinez de longues diagonales, elles les diviseront en deux, formant six triangles équilatéraux (triangles équilatéraux) dont les trois angles mesurent 60°.
aire de la formule hexagonale
Pour trouver l'aire d'un hexagone régulier, utilisez l'équation suivante :
une = 3/2 · √3 · une 2
où a est la longueur du côté de l’hexagone. Si l'aire est connue mais que les côtés sont inconnus, vous pouvez inverser la formule pour trouver les côtés : a = √(A / (3/2 · √3)) .
La deuxième formule, plus générale, pour l'aire de tout polygone régulier est :
A = P · r / 2
où P est le périmètre du polygone et r est son sommet (rayon du cercle intérieur).
formule du périmètre de l'hexagone
Pour trouver le périmètre d’un hexagone, multipliez simplement ses côtés par six :
P = a·6Pour trouver un côté du périmètre, divisez le périmètre par 6.
Formule diagonale hexagonale
La longue diagonale (d) est exactement deux fois plus longue que le côté : d = a · 2, donc le côté est la moitié de la diagonale, ce qui donne l'équation a = d/2.
La ou les diagonales courtes peuvent être calculées à l'aide de la formule suivante : s = a · √3 et inversement a = s / √3.
Équation du rayon de l'hexagone
Le rayon (R) d'un cercle est simplement égal au côté, donc si la longueur du côté est connue, le rayon est également connu.
Pour trouver le rayon (r) d'un hexagone, utilisez la formule : r = a · √3 / 2 et inversement a = r * 2 / √3.
Circonférence et rayon de l'hexagone
Certaines personnes peuvent être déconcertées par le fait qu’un hexagone n’a pas seulement un rayon, mais deux rayons. Le fait qu'il s'agisse des rayons de cercles contenant tous les sommets et tous les points centraux des côtés d'un hexagone est souvent important lors de la résolution de tâches géométriques liées aux hexagones.
Le rayon circonférentiel est le rayon du cercle qui comprend tous les sommets de l'hexagone. Dans un hexagone régulier, sa longueur est exactement égale à la longueur de son côté (R = a).
Le rayon est le rayon du plus grand cercle pouvant être entièrement contenu dans l'hexagone et est également le sommet de l'hexagone. L'angle lointain est la distance entre le centre de l'hexagone et le milieu de n'importe quel côté, qui forme toujours un angle droit.
Exemple de problème de géométrie hexagonale
Exemple 1 : Trouver l'aire d'un hexagone, étant donné que son périmètre est de 12 cm.
Solution : Cette tâche peut être plus facilement gérée en deux étapes. D'abord, en sachant que P = 6 ·a, donc a = P/6. La longueur du côté est donc de 12 / 6 = 2 cm. Ensuite, utilisez l'équation de l'aire hexagonale et calculez 2/3 ·√3 ·2 = 0,866 cm 2 (centimètres carrés).
Exemple 2 : Si vous savez que la longue diagonale d'un hexagone est égale à 10 pieds, trouvez son aire en mètres carrés.
Solution : Pour trouver la zone en diagonale, divisez la tâche en deux étapes. Tout d’abord, on trouve la longueur du côté de l’hexagone, qui est simplement la diagonale divisée par deux. Donc a = 10 / 2 = 5 pieds. Ensuite, en utilisant la formule d'aire, nous trouvons que 2/3 ·√3 ·5 = 16,2380 pi 2 (pieds carrés). Finalement, convertir les pieds carrés en mètres carrés nous donne 1,5086 m 2 soit environ un mètre carré et demi.
Exemple 3 : Quelle est l'aire d'un hexagone de côté 1 ?
Réponse : Cette tâche peut être résolue directement en utilisant la formule de l'aire hexagonale. Si les côtés mesurent un pouce de long, pour trouver l'aire, multipliez 2/3 par √3 puis 1 : 2/3 ·√3 ·1 = sqrt(3) / 4 = 0,433 pouces carrés car la racine carrée de 3 est 1.732051.
Applications pratiques des hexagones
Les hexagones et principalement les carrés ont de nombreuses applications, tant dans la nature que dans les objets fabriqués par l'homme. Tout le monde connaît le motif en nid d’abeille des structures en nid d’abeille. Moins familier est l’œil de l’insecte, qui se compose généralement de nombreux photorécepteurs à six côtés regroupés. Les lentilles photographiques, ainsi que les lentilles de télescope utilisées en astronomie, reflètent également cette conception et sont composées de nombreux hexagones. Un exemple notable est le télescope spatial James Webb.
Plusieurs raisons expliquent la popularité de la forme hexagonale. Premièrement, parmi les polygones remplis de surface, l'hexagone régulier à 6 côtés a le plus petit périmètre par unité de surface, ce qui signifie que moins de matériaux sont nécessaires pour construire une structure ou un élément couvrant une zone. De plus, l'angle de 120° répartit les forces (contraintes mécaniques et de traction) uniformément entre ses côtés adjacents, rendant la structure hexagonale stable et efficace. C'est pourquoi les calculatrices hexagonales sont souvent utilisées dans les applications d'ingénierie. Enfin, de nombreux hexagones réguliers peuvent remplir une surface sans espace entre eux, une propriété partagée avec d’autres formes, notamment les triangles et les carrés réguliers.