Calculateur de distribution binomiale négative
Le calculateur de distribution binomiale négative est un outil permettant de calculer la probabilité de la distribution binomiale négative. Ce type de distribution est une distribution de probabilité discrète qui décrit le nombre d'essais requis pour obtenir un nombre fixe de réussites. Il s'agit d'une généralisation de la distribution binomiale, qui décrit la probabilité de réussite d'un nombre fixe d'essais dans un nombre d'essais donné.
La distribution binomiale négative est caractérisée par deux paramètres : le nombre de réussites requis (k) et la probabilité de réussite à chaque essai (p). La fonction de masse de probabilité de la distribution binomiale négative donne la probabilité d'observer les r succès avant d'observer le k succès dans une série d'essais de Bernoulli indépendants et identiquement distribués. La fonction de distribution cumulative donne la probabilité d’observer au plus r succès avant le kième succès.
La distribution binomiale négative est généralement utilisée lorsque le nombre d'essais requis pour obtenir un nombre fixe de réussites est aléatoire. Elle est également liée à la distribution géométrique, qui décrit la probabilité de premier succès au rème essai. La variance et la valeur attendue de la distribution binomiale négative peuvent être calculées à l'aide de formules qui dépendent des valeurs k et p. Le calculateur de distribution binomiale négative peut être utilisé pour calculer rapidement et facilement ces valeurs pour un ensemble de paramètres donné.
En résumé, le calculateur de distribution binomiale négative est un outil utile pour calculer les probabilités associées à la distribution binomiale négative. Cette distribution décrit le nombre d'essais nécessaires pour obtenir un nombre fixe de réussites et est liée aux distributions binomiale et géométrique. Cette calculatrice peut être utilisée pour calculer la fonction de masse de probabilité, la fonction de distribution cumulative, la variance et la valeur attendue de la distribution binomiale négative pour un ensemble donné de paramètres.
Quelle est la distribution binomiale négative ?
La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre d'échecs avant un nombre fixe de succès dans une série d'essais de Bernoulli indépendants et identiquement distribués. On l'appelle également distribution Pascal ou distribution Polya.
Dans la distribution binomiale négative, la probabilité de succès est représentée par p et le nombre de succès requis est représenté par r. La variable aléatoire X représente le nombre d'échecs avant le rème succès.
La fonction de masse de probabilité de la distribution binomiale négative est donnée par :
P(X = k) = (k + r - 1) Sélectionnez (r - 1) * p^r * (1 - p)^k
où (k + r - 1) choisit (r - 1) est le coefficient binomial.
La moyenne de la distribution binomiale négative est donnée par :
E(X) = r*(1-p)/p
La variance est donnée par :
Variable (X) = r * (1 - p) / p^2
La fonction de distribution cumulative de la distribution binomiale négative peut être représentée par une fonction bêta incomplète régularisée.
La distribution binomiale négative est étroitement liée à la distribution géométrique, qui modélise le nombre d'essais requis pour obtenir le premier succès. En fait, la distribution binomiale négative est parfois appelée « distribution géométrique généralisée ».
La distribution binomiale négative a des applications dans de nombreux domaines, tels que l'ingénierie de la fiabilité, la théorie des files d'attente et l'épidémiologie. Par exemple, il peut être utilisé pour modéliser le nombre d’éléments défectueux dans un échantillon ou le nombre d’infections dans une population.
En résumé, la distribution binomiale négative est une distribution de probabilité qui modélise le nombre d'échecs avant un nombre fixe de succès dans une série d'essais de Bernoulli indépendants et identiquement distribués. Il s'agit d'une distribution de probabilité discrète avec des valeurs possibles allant de 0 à l'infini. La fonction de masse de probabilité et la fonction de distribution cumulative peuvent être calculées respectivement à l'aide de coefficients binomiaux et de fonctions bêta incomplètes régularisées. Vous pouvez également calculer la moyenne et la variance d'une distribution.
Comment calculer une distribution binomiale négative ?
Le calcul de la distribution binomiale négative nécessite la compréhension de plusieurs facteurs clés. Ces facteurs comprennent la probabilité de réussite, le nombre de réussites, les variables aléatoires, les moyennes, les valeurs possibles, les fonctions de masse de probabilité, les fonctions de distribution cumulative, les variances et les formules.
Pour calculer la distribution binomiale négative, vous devez d’abord comprendre la distribution binomiale. La distribution binomiale est une distribution de probabilité discrète qui décrit le nombre de réussites dans un nombre fixe d'essais. La distribution binomiale négative est une généralisation de la distribution binomiale et décrit le nombre d'essais requis pour obtenir un nombre fixe de succès.
Pour calculer la distribution binomiale négative, vous devez d’abord déterminer la probabilité de succès. La probabilité de succès est la probabilité d’obtenir un résultat positif dans un essai donné. Cette valeur est représentée par la lettre "p".
Ensuite, le nombre de réussites doit être déterminé. Le nombre de réussites est un nombre fixe de résultats réussis requis. Cette valeur est représentée par la lettre « k ».
La variable aléatoire est le nombre d’essais nécessaires pour obtenir un nombre fixe de réussites. Cette valeur est représentée par la lettre "x".
La moyenne est le nombre attendu d'essais nécessaires pour obtenir un nombre fixe de succès. Cette valeur est représentée par les lettres « μ ».
Les valeurs possibles sont les valeurs entières de la variable aléatoire x. Ces valeurs vont de k à l'infini.
La fonction de masse de probabilité est une fonction qui décrit la probabilité de chaque résultat possible. Cette fonction est représentée par les lettres "P(x=k)".
La fonction de distribution cumulative est une fonction qui décrit la probabilité d'obtenir k succès ou moins. Cette fonction est représentée par les lettres "F(k)".
La variance est une mesure de distribution. Cette valeur est représentée par les lettres « σ^2 ».
La formule de calcul de la distribution binomiale négative est la suivante :
P(x=k) = (k-1) C (r-1) * p^r * (1-p)^(kr)
Où « C » est le coefficient binomial, calculé comme suit :
C(n,r) = n! / (r! * (nr)!)
Un exemple d’utilisation du calculateur de distribution binomiale négative consiste à calculer la probabilité de trois succès sur dix essais, avec une probabilité de succès de 0,4. La calculatrice utilisera les formules et les valeurs de k, p et r pour déterminer la probabilité de 3 réussites sur 10 essais.
En résumé, le calcul de la distribution binomiale négative nécessite la compréhension de plusieurs facteurs clés, notamment la probabilité de succès, le nombre de succès, les variables aléatoires, la moyenne, les valeurs possibles, la fonction de masse de probabilité, la fonction de distribution cumulative, la variance et la formule. En comprenant ces facteurs et en utilisant un calculateur de distribution binomiale négative, il est facile de calculer la probabilité de réussite pour atteindre un nombre fixe dans un nombre donné d'essais.
Distribution binomiale négative et distribution géométrique
En termes de distributions de probabilité, la distribution binomiale négative et la distribution géométrique sont couramment utilisées dans divers domaines. Bien qu’ils présentent certaines similitudes, ils présentent également des différences clés. Dans cette section, nous explorerons les différences entre ces deux distributions.
définition
La distribution binomiale négative et la distribution géométrique sont toutes deux des distributions de probabilité discrètes. La distribution binomiale négative modélise le nombre d'échecs qui se produisent avant qu'un nombre spécifié de succès ne soit atteint dans une série d'essais de Bernoulli indépendants et identiques. La distribution géométrique, quant à elle, modélise le nombre d'essais nécessaires pour obtenir le premier succès d'une série d'essais de Bernoulli indépendants et identiques.
Notation
La représentation de la distribution binomiale négative est la suivante :
- R : le nombre de succès à réaliser
- P : Probabilité de succès pour chaque essai
- x : le nombre d'échecs avant d'obtenir le rème succès
La représentation de la distribution géométrique est la suivante :
- P : Probabilité de succès pour chaque essai
- X : nombre d'essais requis pour le premier succès
fonction de masse de probabilité
La fonction de masse de probabilité (PMF) de la distribution binomiale négative est :
P(X = x) = (x + r - 1) sélectionnez (r - 1) * p^r * (1 - p)^x
Le PMF de la distribution géométrique est :
P(X=x)=p*(1-p)^(x-1)
fonction de distribution cumulative
La fonction de distribution cumulative (CDF) de la distribution binomiale négative est :
F(X <= x) = Je(p, r, x)
où I est la fonction bêta incomplète.
Le CDF de la distribution géométrique est :
F(X <= x) = 1 - (1 - p)^x
différence
Une différence clé entre la distribution binomiale négative et la distribution géométrique est le nombre de succès qui doivent être obtenus. Dans la distribution binomiale négative, un nombre fixe de succès doit être obtenu avant que l’expérience soit considérée comme terminée. En distribution géométrique, un seul succès est requis.
Une autre différence est le nombre d'essais requis. Dans la distribution binomiale négative, le nombre d'essais n'est pas fixe et peut varier en fonction du nombre d'échecs survenus avant qu'un nombre spécifié de réussites ne soit atteint. Dans la distribution géométrique, le nombre d'essais requis est fixé à 1.
exemple
Supposons qu’une entreprise mène une enquête pour déterminer combien de personnes sur 10 achèteront leur produit. Si la probabilité qu’une personne achète le produit est de 0,4, quelle est la probabilité qu’exactement 3 personnes achètent le produit ?
En utilisant la distribution binomiale négative, nous pouvons poser r = 3 et x = 7 (puisque 7 échecs doivent se produire avant que le troisième succès soit obtenu). La probabilité de réussite de chaque essai est de 0,4. En substituant ces valeurs dans le PMF on obtient :
P(X = 7) = (7 + 3 - 1) Sélectionnez (3 - 1) * 0,4^3 * (1 - 0,4)^7 = 0,026
En utilisant la distribution géométrique, nous pouvons définir x = 3. La probabilité de réussite de chaque essai est de 0,4. En substituant ces valeurs dans le PMF on obtient :
P(X=3)=0,4*(1-0,4)^2=0,096
Comme nous pouvons le constater, les probabilités des deux distributions sont différentes. En effet, la distribution binomiale négative modélise le nombre d'échecs avant d'obtenir un nombre fixe de réussites, tandis que la distribution géométrique modélise le nombre d'essais nécessaires pour obtenir le premier succès.
En résumé, même si la distribution binomiale négative et la distribution géométrique présentent certaines similitudes, elles présentent également des différences clés. Comprendre ces différences peut aider à choisir une distribution appropriée pour un problème donné.
Application de la distribution binomiale négative
Le calculateur de distribution binomiale négative est un outil utile pour calculer la probabilité d'un certain nombre d'échecs avant d'atteindre un nombre fixe de succès dans une série d'essais de Bernoulli indépendants. Cette distribution a diverses applications en probabilités et en statistiques, notamment :
Distribution pascale
La distribution binomiale négative est également appelée distribution de Pascal, du nom du mathématicien Blaise Pascal. Cette distribution est utilisée pour modéliser le nombre d'essais de Bernoulli requis pour obtenir un nombre fixe de succès.
Lancer des pièces et lancer des dés
La distribution binomiale négative peut être utilisée pour modéliser le nombre de lancers de pièces ou de dés requis pour obtenir un certain nombre de faces ou un certain nombre de nombres.
Fonction de masse de probabilité et fonction de distribution cumulative
La fonction de masse de probabilité de la distribution binomiale négative donne la probabilité d'atteindre un certain nombre d'échecs avant un nombre fixe de succès. La fonction de distribution cumulative donne la probabilité d'atteindre au plus un certain nombre d'échecs avant un nombre fixe de succès.
procès Bernoulli indépendant
La distribution binomiale négative suppose que les essais de Bernoulli sont indépendants, ce qui signifie que le résultat d'un essai n'affecte pas le résultat du prochain essai.
compter les données
La distribution binomiale négative est souvent utilisée pour modéliser des données de décompte, telles que le nombre d'incidents au cours d'une période spécifique ou le nombre de défauts dans un produit spécifique.
distribution géométrique
La distribution binomiale négative est liée à la distribution géométrique, qui modélise le nombre d'essais de Bernoulli requis pour obtenir le premier succès.
Dans l'ensemble, le calculateur de distribution binomiale négative est un outil précieux pour analyser les données et faire des prédictions basées sur la probabilité d'atteindre un certain nombre de succès ou d'échecs dans une série d'essais de Bernoulli indépendants.
Propriétés de la distribution binomiale négative
La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité discrète qui décrit le nombre d'échecs qui se produisent avant qu'un nombre fixe de réussites ne soit atteint dans une série d'essais indépendants. Dans cette section, nous discuterons de certaines propriétés importantes de la distribution binomiale négative.
moyenne et variance
La moyenne et la variance de la distribution binomiale négative sont données par :
- Moyenne : E(X) = r(1-p)/p
- Variance : Var(X) = r(1-p)/p^2
Ici, r est le nombre de succès, p est la probabilité de succès et X est une variable aléatoire représentant le nombre d'échecs avant le rème succès.
Asymétrie et aplatissement
L'asymétrie et l'aplatissement de la distribution binomiale négative sont donnés par :
- Asymétrie : (2-p)/sqrt(r(1-p))
- Aplatissement : 6/r (1-p) + 3
L'asymétrie mesure le degré d'asymétrie d'une distribution, tandis que l'aplatissement mesure le degré de pic ou de planéité.
fonction gamma
La distribution binomiale négative peut être exprimée par la fonction gamma comme suit :
- P(X=k) = (k+r-1)C(k) p^r (1-p)^k
Ici, C(k) est le coefficient binomial, qui représente le nombre de façons de sélectionner k objets parmi un total de r+k-1 objets.
Montant cumulé
Le cumulant de la distribution binomiale négative peut être calculé à l'aide de la formule suivante :
- K_n = (-1)^n B_n (r, p) / n !
Ici, B_n(r,p) est le nième polynôme de Bell, qui peut être exprimé par le deuxième nombre de Stirling.
Solution
La distribution binomiale négative peut être résolue en utilisant la méthode de la fonction génératrice. La fonction génératrice de probabilité de la distribution binomiale négative est donnée par :
- G(z) = (1-pz)^(-r)
Ici, z est une variable complexe.
exemple
Supposons que le basketteur ait 70 % de chances de réussir un lancer franc. Quelle est la probabilité qu’il réussisse son cinquième lancer franc à sa neuvième tentative ?
En utilisant la distribution binomiale négative, nous pouvons calculer :
- P(X=4) = (4+5-1)C(4) (0,7)^5 (0,3)^4 = 0,2001
Par conséquent, la probabilité qu’un basketteur réussisse son cinquième lancer franc lors de sa neuvième tentative est d’environ 0,2001.
En résumé, la distribution binomiale négative est un outil utile pour modéliser le nombre d’échecs qui se produisent avant qu’un nombre fixe de réussites ne soit atteint dans une série d’essais indépendants. Il possède plusieurs propriétés importantes, notamment sa moyenne, sa variance, son asymétrie, son aplatissement, sa fonction gamma, son cumulant et sa méthode de solution.
en conclusion
En résumé, le calculateur de distribution binomiale négative est un outil utile pour calculer la probabilité d'un certain nombre d'échecs avant qu'un nombre donné de succès ne se produise dans un nombre fixe d'essais. La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité discrète qui peut être utilisée pour modéliser le nombre d'essais requis pour obtenir un nombre fixe de réussites.
Les fonctions de masse de probabilité et les fonctions de distribution cumulative peuvent être utilisées pour calculer la probabilité d'obtenir un certain nombre de réussites ou d'échecs dans un nombre donné d'essais. La variance et l'écart type de la distribution binomiale négative peuvent également être calculés à l'aide des formules fournies.
La distribution binomiale négative est étroitement liée à la distribution binomiale et à la distribution géométrique. La distribution binomiale peut être utilisée pour modéliser le nombre de réussites dans un nombre fixe d'essais, tandis que la distribution géométrique peut être utilisée pour modéliser le nombre d'essais requis pour obtenir un seul succès.
La distribution normale peut également être utilisée pour se rapprocher de la distribution binomiale négative dans certaines conditions. La valeur attendue et le nombre attendu d'essais peuvent être calculés à l'aide des formules fournies, et la distribution de la variable aléatoire x peut être modélisée à l'aide de la fonction de densité de probabilité.
Dans l’ensemble, le calculateur de distribution binomiale négative est un outil précieux pour toute personne intéressée par les probabilités et les statistiques. En comprenant les concepts et les méthodes impliqués dans le calcul de la distribution binomiale négative, les individus peuvent développer une compréhension plus approfondie des principes fondamentaux des probabilités et des statistiques.