Calculateur de rayon de convergence

Ce calculateur de rayon de convergence est spécifiquement conçu pour calculer le rayon de convergence d'une série de puissances donnée. C’est le meilleur outil pour identifier où converge une séquence. Pour plus de commodité, le calculateur de rayon de convergence présente des solutions étape par étape.

Qu'est-ce que le rayon de convergence ?

"Le rayon de convergence est le rayon maximum d'un disque centré sur une série de séries convergentes"

Il est centré en un point précis du nombre réel non négatif représenté par R tel que :

• Si |x - a| < R, la série converge
• Si |x - a| > R, la série diverge

Comment trouver le rayon de convergence ?

Les tests de racine et de rapport sont utilisés pour trouver le rayon de convergence, alors consultez ces tests.

Test de ratio :

C'est l'un des tests utilisés pour trouver la convergence, la divergence, le rayon de convergence et l'intervalle de convergence.

$$L= \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n}$$

Test racine :

Le test de racine est un test d’une séquence élevée à la puissance n sans aucune expression factorielle. Semblable au test de ratio, la convergence dépend de la valeur de la limite.

$$L = \lim_{n\to\infty}\left|a_n^{\frac{1}{n}}\right|$$

Voir des exemples de mise en œuvre de ces tests en informatique.

exemple:

Trouvez le rayon de convergence R de la prochaine série de nombres.

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\left（x-3\right）^{n}}{n}$$

Solution:

Supposons :

$$C_{n}=\frac{\left（x-3\right）^{n}}{n}$$

La séquence ci-dessus convergera vers x = 3. Maintenant, pour le calcul manuel, nous devons utiliser le test de ratio.

$$L= \lim_{n \to \infty}\frac{\left（x-3\right）^{n}}{n}$$

$$L= \lim_{n \to \infty}[\frac{\left（x-3\right）^{n+1}}{n+1}* \frac{n}{\left（x-3\ à droite）^n}]$$

$$L= \lim_{n \to \infty}[\frac{\left（x-3\right）^{∞+1}}{∞+1}* \frac{∞}{\left（x-3\ à droite）^∞}]$$

$$L=\lim_{n \to \infty}[\frac{\left（x-3\right）^{1}}{1}* \frac{∞}{\left（x-3\right）}]$$

$$\gauche|x-3\droite|$$

Or, cette séquence ne convergera que si x-3 < 1. Sinon, pour x-3 > 1, la séquence divergera. Le rayon de convergence est donc 1. Maintenant, en considérant l’une des inégalités ci-dessus, nous pouvons déterminer l’intervalle de convergence.

$$\gauche|x-3\droite|≤1$$

$$-1<\gauche|x-3\droite|<1$$

$$-1+3$$

FAQ :

Le rayon de convergence peut-il être nul ?

Lorsqu’une séquence donnée converge vers un point, on peut dire que le rayon de convergence est nul. Étant donné que la convergence se produit en un seul point, le calculateur de rayon de convergence l'indique en trouvant la convergence d'une séquence vers une valeur unique. Cela signifie que pour toute valeur non nulle éloignée du point, la séquence diverge.

Si la limite est nulle, quel est le rayon de convergence ?

À mesure que la limite supérieure se rapproche de zéro, le rayon de convergence s’étend jusqu’à l’infini. Si la limite est un nombre fini positif, le rayon de convergence peut être obtenu en prenant l'inverse de la limite.

Peut-on calculer le rayon de convergence infini ?

Ce n'est que lorsque la série de tous les nombres complexes z converge que nous pouvons calculer que le rayon de convergence est infini.