Calculateur de séries de Taylor

Entrez une valeur pour trouver la représentation en série de Taylor de la fonction.

Calculateur de séries de Taylor

Utilisez cette calculatrice de série Taylor pour représenter votre fonction sous forme de série Taylor, étape par étape. Il permet d'étendre la fonction en spécifiant :

1. Le point central (a) sur lequel vous souhaitez centrer la série de Taylor. Par défaut, cela est généralement exprimé sous la forme x = 0
2. L'ordre souhaité (n) du polynôme de la série de Taylor, qui aidera à déterminer le nombre de termes à considérer dans l'approximation
3. Limites d'erreur ou analyse de convergence, selon le degré du polynôme

limite:

Cette calculatrice convient pour représenter les séries de Taylor. Il ne peut pas gérer des fonctionnalités avancées telles que l’analyse de la convergence ou l’exploration de représentations alternatives en séries.

Qu'est-ce que la série Taylor ?

Une série de Taylor est une somme infinie de termes dérivés des dérivées d'une fonction en un point spécifié.

Il est largement utilisé en calcul pour approximer les valeurs de fonctions complexes, notamment à proximité de points sélectionnés. Cette série de Taylor est particulièrement utile pour représenter des fonctions complexes en termes de polynômes plus simples.

Formule de la série de Taylor :

La formule générale du développement en série de Taylor est la suivante :

$\f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n ! }(xa)^n=f(a)+f^{\prime}(a)(xa)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2! }(xa)^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3! }(xa)^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n! }(xa)^n+\ldots$

où

• "n" est le nombre total de termes contenus dans la série de Taylor
• "A" est le point central de la fonction
• f(a) représente la valeur de la fonction au point x = a
• f′(a) est la dérivée première
• f′′(a) représente la dérivée seconde
• F′′′(a) représente la dérivée troisième

La série de Taylor est infinie, mais vous pouvez définir le degré du polynôme (n) que vous souhaitez spécifier. Cela peut également être fait à l'aide de notre calculateur de séries de Taylor, qui vous permet de spécifier une valeur « n » pour l'approximation (l'ajout de degrés plus élevés entraîne une approximation plus précise de la fonction).

Comment calculer la série de Taylor ?

Pour calculer le développement en série de Taylor d'une fonction, voir un exemple utilisant la formule :

exemple:

La fonction est"$\sqrt{x^{2} + 4}$Jusqu'à n = 2, où Point =1", trouvez sa série de Taylor.

Solution:

$\f (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k! }(x - a)^{k}$

$\f (x) ≈ P (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k! }(x - a)^{k} = \sum\limits_{k=0}^{2} \frac{f^{(k)}(a)}{k! }(x - a)^{k}$

$\f^{(0)}(x) = f(x) = \sqrt{x^{2} + 4}$ $\f(1) = \sqrt{5}$

Calculez la dérivée première :

$\f^{(1)}(x) = \left(f^{(0)}(x)\right)^{'}= \left(\sqrt{x^{2} + 4}\right) ^{'} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

Dérivation du premier ordre pour un point donné :

$\left(f(1)\right)^{'} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Dérivée seconde :

$\f^{(2)}(x) = \left(f^{(1)}(x)\right)^{'}= \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}\right)^{'} = \frac{4}{\left (x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}}$

Dérivation du second ordre pour un point donné :

$\left（f（1）\right）^{''} = \frac{4 \sqrt{5}}{25}$

Les polynômes peuvent être obtenus en utilisant les valeurs suivantes :

$\f(x) ≈ \frac{\sqrt{5}}{0 ! }(x- (1))^{0} + \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1 ! }(x- (1))^{1} + \frac{\frac{4 \sqrt{5}}{25}}{2 ! }(x-(1))^{2}$

Ici, vous pouvez également effectuer une expansion polynomiale de Taylor en spécifiant des valeurs dans   le calculateur polynomial de Taylor .

Après simplification :

$\f(x)≈P(x)=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5} \left(x - 1\right)}{5}+\frac{2 \sqrt{5} \left (x - 1\droite)^{2}}{25}$

Pourquoi utiliser la série Taylor ?

Les gens utilisent la série Taylor pour plusieurs raisons, notamment :

• Fonctions approximatives : les sommes des parties de la série de Taylor vous permettent d'approcher les fonctions. Ces sommes partielles sont des polynômes (finis) et peuvent être facilement calculées. Avec son aide, vous pouvez créer une fonction polynomiale simple qui ressemble à une fonction complexe autour d'un point spécifique
• Analyser le comportement de la fonction : les termes de la série vous donnent des informations sur le comportement de la fonction à proximité du point central (chaque terme d'un polynôme de Taylor est obtenu en prenant la dérivée de la fonction en un seul point)
• Représentation en série : elle aide à représenter les fonctions clés telles que les fonctions sinus, cosinus et exponentielles. Par conséquent, il est largement utilisé en science et en ingénierie.
• Résolution d'équations différentielles : Dans certains cas, les séries de Taylor peuvent également être utilisées pour obtenir des solutions approximatives d'équations différentielles. C'est particulièrement utile lorsque trouver la solution exacte semble difficile. La différence entre la valeur approximative et la valeur réelle de la fonction f(x) est le reste. Elle est représentée par la fonction Rn(x). Il s'agit de l'erreur associée à la fonction approximative et peut être facilement déterminée à l'aide d'un calculateur de séries de Taylor.

 

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