Calculateur de matrice inverse

Le calculateur de matrice inverse en ligne gratuit calcule l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2x2, 3x3 ou supérieur. Lorsque vous utilisez une calculatrice en ligne, vous pouvez apprendre à trouver l'inverse d'une matrice en utilisant la méthode de Gauss-Jordan et la méthode adjointe. Alors, passons à autre chose !

concept

L'inverse de la matrice est la suivante :$$A^{-1} = \frac{Adj\left(A\right)}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} \\}$$

dans:

$$Adj \left(A\right) = \begin{bmatrix}d & -b\\ -c & a \\\end{bmatrix}$$ Pour $$A = \begin{bmatrix}a & b\\ c & d \\\end{bmatrix}$$ $$det A = \begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} \\ = ad - bc$$

Pour l'inverse d'une matrice, les conditions suivantes doivent être remplies

• La matrice doit être une matrice carrée.
• Déterminant de la matrice |A|≠0

Nous pouvons vérifier si la matrice satisfait aux conditions ci-dessus en utilisant le calculateur de matrice inverse. Et si vous envisagiez de supprimer la définition d'adjoint et d'inverse d'une matrice 3x3 ? si $$A= \begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix}$$

Donc
$$Adj A = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{12} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$Afin de déterminer l'inverse d'une matrice 3x3, nous devons composer avec les concepts de sous-formules et de cofacteurs.

 

Chaque élément de la matrice a une définition de sous-formule. La sous-formule d'un élément particulier est le déterminant obtenu en éliminant les lignes et les colonnes contenant cet élément.

Cofacteur :

Le cofacteur d'un élément est déterminé en multipliant la sous-formule par la somme des exposants de ligne et de colonne de l'élément particulier.$$Cofactor of a_{ij}= (-1)^i+j × minor of a_{ij}$$Pour la matrice A donnée ci-dessus, nous recherchons la sous-formule et le cofacteur de la matrice.$$A= \begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix}$$ $$M_{11} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}e & f \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{12} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d & f \\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{13} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d& e \\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$M_{21} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{22} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}a & c \\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{23} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d & e \\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$M_{31} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} e & g \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{32} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} a & c\\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{33} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} d & e\\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$\text{Cofactor Matrix} = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{21} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}$$ $$A^{t} = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{21} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$ $$Adj\left(A\right) = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{12} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$L'ensemble du calcul de l'inverse de la matrice 3x3 peut être rapidement complété avec le calculateur de matrice inverse.

Déterminant:

Le déterminant d'une matrice est la seule représentation d'une matrice. Le déterminant d'une matrice est égal à la somme des produits des éléments dans des lignes et colonnes spécifiques de la matrice multipliée par les facteurs restants. Nous pouvons trouver le déterminant d'une matrice à l'aide d'un  calculateur de déterminant .

Matrice singulière :

La valeur maximale dont le déterminant est nul est une matrice singulière. Pour une matrice singulière A, |A| = 0, nous ne pouvons pas trouver l'inverse de la matrice singulière ; cette condition est vraie si nous trouvons l'inverse d'une matrice 3x3 ou de toute autre matrice carrée.

Matrice non singulière :

Une matrice dont le déterminant n’est pas égal à zéro est appelée matrice non singulière. Une matrice non singulière |A|≠0 est également appelée matrice inversible car son inverse peut être calculé.

Méthode de Jordan gaussienne :

Nous pouvons implémenter la méthode de Jordan gaussienne par :$$\begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\g&h& i \end{bmatrix}\\$$Nous allons faire de la matrice une matrice d’identité en appliquant des opérations sur les lignes.$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}a&b&c&1&0&0\\ d&e&f&0&1&0\\g & h& i&0&0&1 \end{array}\right]\\$$Nous devons effectuer des opérations sur les lignes pour trouver l’inverse de la matrice. Nous devons convertir la matrice en matrice d'identité, puis effectuer des opérations sur les lignes. Le résultat sera la matrice inverse obtenue par élimination de Jordan gaussien. Le calculateur de matrice inverse peut trouver rapidement l'inverse d'une matrice en utilisant l'élimination de Jordan gaussienne.

Exemple:

Calculez et résolvez l'inverse de la matrice 3x3 par la méthode d'élimination de Jordan gaussien :$$\begin{bmatrix}1&1&9 \\ 2&5&1\\1&2&7\end{bmatrix}\\$$Trouvez maintenant le déterminant : Nous allons faire de la matrice une matrice d’identité en appliquant des opérations sur les lignes.$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&1&9&1&0&0\\ 2&5&1&0&1&0\\1&2&7&0&0&1\end{array}\right]\\$$La matrice inverse finale obtenue par la méthode d'élimination de Jordan gaussien est :$$Inverse matrix= \begin{bmatrix}3&1&-4 \\ -1.182&-0.182&1.545 \\ -0.091&-0.091&0.273 \\\end{bmatrix}$$Le calculateur de matrice inverse peut trouver l'inverse d'une matrice 3x3 en quelques secondes.

Comment fonctionne le calculateur matriciel inverse :

Les calculs de matrice inverse sont faciles à trouver lorsque vous utilisez le calculateur de matrice inverse. Cela peut être fait en quelques minutes de la manière la plus simple et la plus efficace. 

FAQ :
Qu'est-ce qu'une matrice inversible ?
Une matrice avec un inverse doit avoir des propriétés non singulières et carrées.

Pouvons-nous trouver l’inverse de toutes les matrices ?
Nous ne pouvons pas trouver l'inverse de toutes les matrices, seul l'inverse des matrices inversibles peut être déterminé avec le calculateur d'inversion matricielle.

Puis-je obtenir la matrice originale après inversion ? Entrez votre matrice inverse. Cliquez sur le bouton Calculer pour obtenir l'inverse de la matrice inverse. Cela vous donnera la matrice originale. Pouvez-vous inverser une matrice singulière ? Non, vous ne pouvez pas inverser une matrice singulière car lors du calcul de l'inverse de la matrice, le déterminant devient nul. Vous pouvez utiliser le calculateur de matrice inverse pour savoir si une matrice est singulière. Conclusion : Pour trouver des solutions aux équations linéaires par inversion matricielle, nous devons trouver la matrice inverse. L'inverse d'une matrice 3x3 et l'inverse d'une matrice 4x4 sont un long processus et nous avons besoin de matrices inverses spéciales. 
Il vous suffit de suivre les étapes suivantes pour obtenir la matrice originale avec le  calculateur matriciel inverse :